Santiago Gijón Baos. Profesor de matemáticas en el colegio San Juan Bosco de Puertollano.- Comenzamos con una serie de artículos con los que pretendemos contarte como las matemáticas están presentes en las calles de nuestro pueblo o ciudad. De hecho, muchas veces no nos damos cuenta o no nos paramos a observar como estamos rodeados de números y de matemáticas en los diferentes lugares que frecuentamos a diario.
Hay lugares y espacios por los que pasamos cada día y en los que muchas veces incluso quedamos y nos encontramos, pero que pasan desapercibidos para nosotros en muchos aspectos. A parte de la riqueza cultural, histórica o social, importantes sin lugar a dudas, hay edificios, monumentos o lugares en los cuales podemos trabajar y sacarle mucho jugo a las matemáticas.
Hemos querido comenzar esta serie de “Matemáticas al aire libre” haciendo algo especial con el que consideramos uno de los lugares y monumentos más significativos e importantes de Puertollano (Ciudad Real). Vamos a hacer matemáticas con la famosa “Fuente Agria” de Puertollano.
Nuestra querida “Fuente Agria” es un auténtico icono de la ciudad de Puertollano, ya que desde que tenemos constancia, allá por el reinado de Felipe II, por esta fuente emana agua con alto contenido en hierro, lo que le confiere un sabor y unas características muy especiales.
La fuente ocupa un lugar privilegiado en el centro del Paseo de San Gregorio. Los cuatro caños desde donde emana el agua están situados bajo una estructura octogonal, proyectada y ejecutada a finales del siglo XIX. Debajo del templete hay 9 escalones que dan acceso a la columna central, desde la que sobresalen estos famosos cuatro caños.
Este octógono es el que nos va a dar todo el juego que buscamos con las matemáticas, o más concretamente con la geometría. Nuestro objetivo es determinar el área que abarca la estructura octogonal de la “Fuente Agria”. Para ello, nuestro primer paso será comprobar que el octógono es regular y que todos los lados que lo forman tienen la misma longitud.
Visitamos el monumento, y midiendo obtenemos que cada uno de los lados del octógono tienen 410 centímetros de longitud. Ya que estamos allí, echamos un traguito de agua agria y comprobamos si necesitamos más datos para averiguar el área de su planta octogonal.
Si buscamos la fórmula del área de cualquier polígono regular, comprobaremos que a parte del perímetro (la suma de los 8 lados) necesitaremos la medida de su apotema (distancia desde el centro del polígono hasta el centro de cualquiera de sus lados).
Aquí es donde encontraremos una gran dificultad sobre el terreno, y comprobaremos que nos resultará muy complicado medir la longitud del apotema, debido a que el acceso al centro es muy complicado, ya que la columna central de la fuente está a un nivel inferior a la planta octogonal de la estructura del templete. De hecho, tenemos nueve escalones que dan acceso desde la parte de arriba hasta los caños de nuestra querida “Fuente Agria”.
Llegados a este punto es donde debemos echar mano de las nuevas tecnologías y ayudarnos de nuestro amigo Geogebra, la aplicación que nos ayudará a resolver lo que sobre el terreno parece imposible o harto complicado. Lo primero que vamos a hacer es dibujar nuestro octógono regular de lado 410 cm con la herramienta de construcción de polígonos del Geogebra.
Una vez construido el polígono de ocho lados podemos calcular el centro del mismo de una forma muy sencilla, utilizando la herramienta para calcular el punto central en el menú de puntos. A partir de aquí trazar el apotema y calcular su longitud es coser y cantar, ya que lo único que debemos hacer es lanzar un segmento desde el centro del polígono a cualquiera de sus lados.
Llegados a este punto, también podemos “trastear” un poco con el Geogebra y construir la circunferencia inscrita a nuestro octógono, cuyo radio es el apotema. Determinaremos el área que tiene este círculo interior con la herramienta de calculo de áreas del programa. Podéis comprobar en la imagen que tenemos un bonito círculo de 76,61 metros cuadrados de superficie.
También podemos dibujar la circunferencia circunscrita, que en esta ocasión tiene como radio la distancia desde el centro del polígono hasta cualquiera de sus vértices. El círculo que obtenemos en esta ocasión nos da un área de 89,76 metros cuadrados.
Evidentemente, si calculamos una media aritmética con los dos resultados de las áreas obtenidas, llegaremos a un valor de la superficie de la “Fuente Agria” bastante aproximado. Concretamente se obtiene un área aproximada de 83,19 metros cuadrados.
Pero nosotros no hemos venido aquí a darte valores aproximados, ya que como hemos visto anteriormente disponemos de herramientas con las que podremos dar un resultado totalmente exacto. Para estas cosas la verdad es que el Geogebra ofrece unas posibilidades infinitas.
Es evidente que conociendo el radio de las circunferencias que hemos dibujado anteriormente, podremos calcular el área de ambos círculos utilizando la famosa fórmula de su área, en la cual el número pi entra a escena, como no podía ser de otra forma.
Una vez comprobadas todas las opciones de circunferencias que podemos construir basándonos en el octógono de la “Fuente Agria”, llegamos a un punto en el que podremos volver a utilizar la herramienta de calculo de áreas del Geogebra, pero en este caso aplicándola al octógono.
El resultado que obtenemos para el área, como veis en la imagen, es de 80,81 metros cuadrados, que resulta ser 2,38 metros cuadrados inferior al obtenido mediante la media aritmética antes calculada.
Como buen octógono regular también os podemos decir que la «Fuente Agria» cumple a la perfección con la proporción cordobesa, ya que si dividimos el radio de su circunferencia circunscrita entre cualquiera de los lados del polígono obtendremos el Número Cordobés, que se aproxima a 1,31. Os invitamos a echar un ojo a otro de nuestros artículos, donde os descubrimos todos los secretos de esta proporción «Made in Spain».
La proporción cordobesa como nunca te la han contado
Por último, os dejamos un enlace con el que podréis acceder a una simulación en tres dimensiones de la “Fuente Agria” hecha con Geogebra. Las distancias y medidas que aparecen en la recreación intentan acercarse lo más fielmente posible a las medidas reales de este monumento.
Simulación de la «Fuente Agria» en 3D
Como ves, la geometría y las matemáticas dan mucho juego, si sabemos paramos a observar monumentos y lugares por los que paseamos habitualmente. Esperamos que os haya gustado esta práctica de calculo de áreas, en la que nos hemos ayudado del Geogebra y por supuesto de la emblemática “Fuente Agria” de Puertollano.
«Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición, también denominada 9.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo»
